第1章
函数、极限与连续 1
学习目标 1
1.1 函数 1
1.1.1 函数基础 1
1.1.2 初等函数 8
1.1.3 激活函数 11
1.2 数列 12
1.3 极限 12
1.3.1 极限的概念 13
1.3.2 极限的计算 16
1.4 函数的连续性 22
1.4.1 连续的概念 22
1.4.2 函数的间断点 24
1.4.3 闭区间上连续函数的性质 24
1.5 习题 25

第2章
一元函数微积分 29
学习目标 29
2.1 导数的概念 29
2.1.1 导数的定义 30
2.1.2 导数的性质 33
2.2 导数的运算 35
2.2.1 导数基本运算 35
2.2.2 复合函数的求导法则 36
2.2.3 隐函数、反函数求导方法 37
2.3 导数的应用 37
2.3.1 单调性与极值 38
2.3.2 凸性与拐点 42
2.3.3 洛必达法则 45
2.4 微分的概念及应用 47
2.4.1 微分的概念 47
2.4.2 微分的计算 48
2.4.3 微分的应用 51
2.5 不定积分 52
2.5.1 不定积分的概念 52
2.5.2 不定积分的计算 54
2.6 定积分 58
2.6.1 定积分的概念 58
2.6.2 定积分的计算 61
2.6.3 定积分的应用 65
2.7 常微分方程 70
2.7.1 基本概念 71
2.7.2 可分离变量的常微分方程 71
2.7.3 一阶线性常微分方程 73
2.7.4 二阶常系数线性常微分方程 76
2.8 习题 77

第3章
线性代数 82
学习目标 82
3.1 向量基础 82
3.1.1 向量的概念 83
3.1.2 向量的坐标表示 84
3.1.3 向量组与线性相关 85
3.1.4 正交向量组 86
3.2 矩阵 87
3.2.1 矩阵的概念 87
3.2.2 几种特殊矩阵 87
3.2.3 矩阵的运算 88
3.2.4 线性方程组的矩阵表示 91
3.3 行列式 92
3.3.1 行列式的概念 92
3.3.2 行列式的性质 95
3.3.3 行列式的计算 96
3.3.4 克拉默法则 97
3.4 矩阵的秩与逆矩阵 99
3.4.1 矩阵的秩 99
3.4.2 逆矩阵 103
3.5 线性方程组的求解 109
3.5.1 高斯消元法 109
3.5.2 线性方程组解的判定 110
3.5.3 线性方程组解的结构 113
3.6 特征值与特征分解 116
3.7 奇异值分解 116
3.8 习题 116

第4章
概率与统计 121
学习目标 121
4.1 随机事件与概率 121
4.1.1 随机事件 121
4.1.2 条件概率 125
4.1.3 全概率公式 127
4.1.4 贝叶斯公式 128
4.2 随机变量 131
4.2.1 随机变量的概念 131
4.2.2 离散型随机变量 132
4.2.3 连续型随机变量 133
4.2.4 随机变量的数学期望 134
4.2.5 随机变量的方差、标准差
和协方差 136
4.3 常见概率分布 139
4.3.1 伯努利分布 139
4.3.2 二项分布 140
4.3.3 多项分布 140
4.3.4 几何分布 141
4.3.5 泊松分布 142
4.3.6 均匀分布 143
4.3.7 指数分布 145
4.3.8 正态分布 146
4.4 参数估计 147
4.4.1 统计量 148
4.4.2 参数的点估计 152
4.4.3 参数的区间估计 156
4.4.4 最大后验估计 159
4.4.5 贝叶斯估计 160
4.5 假设检验 161
4.5.1 假设检验的基本概念 161
4.5.2 正态总体参数的假设检验 163
4.6 习题 166

第5章
多元函数微分学 170
学习目标 170
5.1 多元函数与偏导数 170
5.1.1 多元函数的极限与连续性 170
5.1.2 偏导数的概念 173
5.1.3 全微分的概念 176
5.2 多元函数的复合函数与隐函数
求导 178
5.2.1 多元函数的复合函数求导 178
5.2.2 多元函数的隐函数求导 180
5.3 方向导数与梯度 180
5.3.1 方向导数 181
5.3.2 梯度 182
5.4 多元函数的极值问题 184
5.4.1 多元函数的极值与求法 184
5.4.2 条件极值与拉格朗日乘
数法 185
5.5 雅可比矩阵 186
5.6 黑塞矩阵 186
5.7 习题 186

第6章
图论基础 189
学习目标 189
6.1 图的基本概念 189
6.1.1 无向图与有向图 191
6.1.2 图的连通性 197
6.1.3 图的矩阵表示 200
6.1.4 最短路径问题 203
6.2 欧拉图与哈密顿图 207
6.2.1 欧拉图 207
6.2.2 哈密顿图 207
6.3 树 210
6.3.1 无向树及生成树 211
6.3.2 有根树及其应用 213
6.3.3 数据挖掘中的决策树算法 219
6.4 习题 219

第7章
数学实验与算法 222
学习目标 222
7.1 Python入门 222
7.2 数学实验基础 223
7.2.1 一元微积分实验 223
7.2.2 线性代数实验 228
7.2.3 多元函数微分学实验 233
7.2.4 概率与统计实验 236
7.2.5 图论实验 243
7.3 数学算法 251
7.3.1 数值计算类算法 251
7.3.2 概率统计类算法 264
7.3.3 离散组合类算法 274
7.3.4 规划优化类算法 278
7.4 习题 285