目　录
01
第1　章 行列式..............1
1.1　行列式的基本概念 . ................　1
1.1.1　二阶、三阶行列式.................　1
1.1.2　排列及其逆序数....................4
1.1.3　n 阶行列式...........................5
同步习题1.1...................................8
1.2　行列式的性质及其应用 . ..........9
1.2.1　行列式的性质.......................9
1.2.2　行列式性质的简单应用.......　13
同步习题1.2.................................　15
1.3　行列式的典型计算方法 .........　16
1.3.1　上（下）三角形法 ..............　16
1.3.2　降阶法...............................　17
1.3.3　升阶法...............................　19
1.3.4　拆分法..............................　21
1.3.5　递推法...............................22
同步习题1.3.................................24
1.4　克拉默法则 ........................25
同步习题1.4.................................29
1.5　运用MATLAB 计算行列式....30
1.5.1　MATLAB 简介...................30
1.5.2　用MATLAB 计算行列式....　31
第1　章思维导图...........................32
第1　章总复习题·基础篇...............33
第1　章总复习题·提高篇...............35
第2　章 矩阵.............　38
2.1　矩阵的基本概念 ..................38
2.1.1　引例..................................38
2.1.2　矩阵的定义........................39
2.1.3　几种特殊矩阵.....................40
同步习题2.1.................................42
2.2　矩阵的运算 .......................42
2.2.1　矩阵的线性运算.................43
2.2.2　线性变换与矩阵乘法..........44
2.2.3　矩阵的转置........................49
2.2.4　方阵的行列式....................　51
2.2.5　伴随矩阵...........................52
同步习题2.2................................52
2.3　初等变换与初等矩阵 ............53
2.3.1　矩阵的初等变换.................54
2.3.2　初等矩阵...........................55
同步习题2.3................................58
2.4　逆矩阵..............................59
2.4.1　逆矩阵的定义.....................59
2.4.2　矩阵可逆的充分必要
条件..................................　61
2.4.3　矩阵之间的等价关系..........62
2.4.4　解矩阵方程.......................65
同步习题2.4................................67
目　录
02
2　线性代数（慕课版 第2版）
2.5　矩阵的秩...........................68
2.5.1　矩阵的秩的定义.................68
2.5.2　矩阵的秩的性质.................69
2.5.3　矩阵的秩的相关结论..........　71
同步习题2.5................................72
2.6　分块矩阵 ..........................73
2.6.1　分块矩阵的定义.................74
2.6.2　分块矩阵的运算.................74
2.6.3　分块对角矩阵....................76
同步习题2.6................................79
2.7　运用MATLAB 进行矩阵
运算　................................80
2.7.1　矩阵的加法........................80
2.7.2　矩阵的乘法、数乘、幂.......　81
2.7.3　求矩阵的转置矩阵..............　81
2.7.4　求矩阵的逆矩阵.................　81
2.7.5　求矩阵的行最简形矩阵.......82
第2　章思维导图..........................83
第2　章总复习题·基础篇...............84
第2　章总复习题·提高篇...............86
03
第3　章 向量与向量
空间.............　89
3.1　n 维向量及其线性运算 ..........89
3.1.1　n 维向量的定义..................89
3.1.2　n 维向量的线性运算...........90
同步习题3.1.................................　91
3.2　向量组的线性关系................　91
3.2.1　向量组的线性组合..............92
3.2.2　向量组的等价....................93
3.2.3　线性组合的经济学应用.......94
3.2.4　向量组线性相关性的定义....94
3.2.5　向量组线性相关性的性质....95
3.2.6　向量组线性相关性的判定....97
同步习题3.2................................99
3.3　极大线性无关组和秩............101
3.3.1　向量组的极大线性无关组和
秩的定义.........................　101
3.3.2　向量组的秩和矩阵的秩的
关系................................　102
同步习题3.3..............................104
3.4　向量空间 ........................　105
3.4.1　向量空间的定义...............　105
3.4.2　过渡矩阵与坐标变换........　106
同步习题3.4..............................108
3.5　向量的内积 .....................　109
3.5.1　向量的内积的定义............109
3.5.2　向量组的正交规范化........　110
3.5.3　正交矩阵.........................　112
同步习题3.5..............................　112
3.6　运用MATLAB 解决向量
问题　...............................113
3.6.1　判断向量组的线性
相关性............................　113
3.6.2　求极大无关组..................　113
3.6.3　将向量组正交规范化........　114
第3　章思维导图.........................115
第3　章总复习题·基础篇..............116
第3　章总复习题·提高篇..............117
04
第4　章 线性方程组....　120
4.1　齐次线性方程组.................　120
4.1.1　引例................................　120
4.1.2　齐次线性方程组解的
性质................................　121
4.1.3　齐次线性方程组的
基础解系.........................　121
同步习题4.1...............................　125
4.2　非齐次线性方程组..............　127
4.2.1　非齐次线性方程组的基本
概念................................　127
4.2.2　非齐次线性方程组解的
性质................................　128
4.2.3　非齐次线性方程组的
解法................................　128
同步习题4.2..............................　133
4.3　线性方程组的应用..............　135
4.3.1　向量组与线性方程组.........　135
4.3.2　利用线性方程组解的理论
求解线性方程组...............　137
4.3.3　矩阵方程与线性方程组.....138
4.3.4　同解与公共解..................140
4.3.5　线性方程组的应用............142
同步习题4.3..............................　145
4.4　运用MATLAB 求解线性
方程组............................　147
4.4.1　求解齐次线性方程组.........　147
4.4.2　求解非齐次线性方程组.....　147
第4　章思维导图........................　149
第4　章总复习题·基础篇.............　150
第4　章总复习题·提高篇..............151
05
第5　章 矩阵的特征值与
特征向量......　154
5.1　特征值与特征向量..............　154
5.1.1　特征值与特征向量的
定义................................　154
5.1.2　特征值与特征向量的
性质................................　157
同步习题5.1...............................　160
5.2　相似矩阵..........................161
5.2.1　相似矩阵的定义及性质.....　161
5.2.2　方阵的相似对角化............　163
同步习题5.2..............................　166
5.3　实对称矩阵及其正交相似
对角化　............................　168
5.3.1　实对称矩阵的特征值与
特征向量.........................　168
5.3.2　实对称矩阵的正交相似
对角化............................　168
同步习题5.3..............................　173
4　线性代数（慕课版 第2版）
5.4　运用MATLAB 求解矩阵
问题...............................　174
5.4.1　求特征值与特征向量.........　174
5.4.2　矩阵相似对角化的判断.....　175
第5　章思维导图........................　177
第5　章总复习题·基础篇.............　178
第5　章总复习题·提高篇.............　179
06
第6　章 二次型.........　182
6.1　二次型及其矩阵表示............　182
6.1.1　二次型的定义...................　182
6.1.2　二次型及其矩阵...............183
同步习题6.1...............................　185
6.2　二次型的标准形.................　185
6.2.1　利用正交变换法化二次型为
标准形............................　185
6.2.2　利用配方法化二次型为
标准形............................189
同步习题6.2..............................190
6.3　正定二次型.......................　190
6.3.1　正定二次型的定义............190
6.3.2　赫尔维茨定理..................　191
同步习题6.3..............................193
6.4　用MATLAB 进行二次型的
运算...............................　193
6.4.1　化二次型为标准形............193
6.4.2　正定二次型的判定............194
第6　章思维导图........................　194
第6　章总复习题·基础篇.............　195
第6　章总复习题·提高篇.............　196
附录
附录1　线性代数中的数学建模.....　199
附录2　全国大学生数学竞赛线性代数
题目选编......................203