【章名目录】
第 一篇　数理逻辑
第 1章　命题逻辑
第 2章　谓词逻辑
第二篇　集合与关系理论
第3章　集合论
第4章　二元关系
第5章　函数
第三篇　代数系统
第6章　代数系统基本概念及性质
第7章　群与环
第8章　格与布尔代数
第四篇　图论
第9章　图的基本概念及其矩阵表示
第 10章　特殊图
第 11章　树
参考文献

【详细目录】
第 一篇　数理逻辑
第 1章　命题逻辑　002
1.1　命题和逻辑联结词　002
1.1.1　命题的概念　003
1.1.2　逻辑联结词　003
1.2　合式公式与真值表　007
1.2.1　合式公式　007
1.2.2　真值表　008
1.3　永真式、等价式及代入规则和替换规则　009
1.3.1　永真式　009
1.3.2　等价式　010
1.3.3　代入规则和替换规则　011
1.4　对偶式与蕴涵式　012
1.4.1　对偶式　012
1.4.2　蕴涵式　013
1.5　范式和判定问题　014
1.5.1　析取范式和合取范式　014
1.5.2　主析取范式和主合取范式　016
1.6　命题演算的推理理论　019
1.7　应用与拓展　022
1.7.1　命题逻辑与SAT：计算机的“智力游戏”　022
1.7.2　谷歌OR-Tools的CP-SAT：解决现实难题的“万能工匠”　022
习题　023
第 2章　谓词逻辑　027
2.1　基本概念和表示　027
2.1.1　个体、谓词和谓词形式　028
2.1.2　量词　028
2.1.3　谓词逻辑的合式公式　030
2.1.4　自由变元和约束变元　030
2.2　谓词逻辑的翻译与解释　031
2.2.1　谓词逻辑的翻译　031
2.2.2　谓词公式的解释　032
2.3　谓词逻辑的等价式与永真蕴涵式　033
2.4　谓词逻辑中的推论理论　035
2.4.1　推理规则　035
2.4.2　推理实例　036
2.5　谓词逻辑中的范式　039
2.5.1　前束范式　039
2.5.2　斯柯林范式　040
2.6　应用与拓展　041
2.6.1　谓词逻辑与知识推理：让计算机学会“举一反三”　041
2.6.2　Prolog：用“逻辑”写程序，而不是用“步骤”　042
习题　042

第二篇　集合与关系理论
第3章　集合论　046
3.1　集合的概念及其表示　047
3.2　集合的运算及恒等式　049
3.3　有穷集的计数和包含排斥原理　054
3.4　应用与拓展　057
3.4.1　PointNet与Deep Sets：让计算机“看懂”三维世界的集合　057
3.4.2　DETR：用集合匹配让计算机“一眼看清”画面中所有目标　058
习题　059
第4章　二元关系　062
4.1　多重序元与笛卡儿积　062
4.2　关系的基本概念　064
4.3　关系的运算　065
4.4　关系的性质　070
4.5　关系的表示　072
4.6　关系的闭包运算　077
4.7　特殊关系　080
4.7.1　集合的划分和覆盖　080
4.7.2　等价关系　082
4.7.3　相容关系　085
4.7.4　次序关系　088
4.7.5　偏序集合与哈斯图　091
4.8　应用与拓展　093
4.8.1　关系型数据库：用“表格”管理世界的秩序　093
4.8.2　图神经网络中的关系传播：当“关系”可以被多层传递　094
习题　094
第5章　函数　100
5.1　函数的基本概念和性质　100
5.2　函数的合成和合成函数的性质　103
5.3　特殊函数　105
5.4　反函数　107
5.5　特征函数　109
5.6　基数　111
5.7　应用与拓展　114
5.7.1　不可解问题：有些事，计算机永远做不到　114
5.7.2　Transformer中的函数复合：人工智能大模型背后的数学骨架　114
习题　115

第三篇　代数系统
第6章　代数系统基本概念及性质　119
6.1　代数系统的一般概念　120
6.1.1　二元运算　120
6.1.2　代数系统　121
6.2　代数系统的基本性质　122
6.3　同态与同构　128
6.3.1　同态　128
6.3.2　同构　130
6.3.3　同态与同构的性质　134
6.4　同余关系　134
6.5　商代数　135
6.6　积代数　136
6.7　应用与拓展　138
6.7.1　同构与迁移学习：从数学结构到“举一反三”的人工智能　138
6.7.2　BERT模型微调：让通用语言模型“适配”你的任务　138
习题　139
第7章　群与环　141
7.1　半群　141
7.2　群　144
7.2.1　群的概念　144
7.2.2　群的性质　145
7.3　子群与群的陪集分解　148
7.3.1　子群　148
7.3.2　子群的判定　149
7.3.3　子群的性质　149
7.3.4　子群的陪集分解　150
7.3.5　拉格朗日定理　152
7.4　循环群与置换群　153
7.4.1　循环群　154
7.4.2　置换群　154
7.5　群的同态与同构　155
7.6　环与域　156
7.6.1　环的概念与性质　156
7.6.2　域的概念　157
7.7　应用与拓展　158
7.7.1　群与纠错编码：让计算机在“宇宙射线”下依然可靠　158
7.7.2　群与网络安全：谷歌Gboard如何学习输入习惯且保护隐私　159
习题　160
第8章　格与布尔代数　162
8.1　格的定义与性质　163
8.2　分配格、有补格与布尔代数　165
8.3　应用与拓展　166
8.3.1　格与数字电路：从数学公式到芯片的“逻辑骨架”　166
8.3.2　格与静态分析：不运行程序，也能找出漏洞　166
习题　167

第四篇　图论
第9章　图的基本概念及其矩阵表示　170
9.1　图的基本概念　171
9.1.1　图的定义及相关概念　171
9.1.2　节点的度　173
9.2　子图和图的运算　175
9.2.1　子图和补图　175
9.2.2　图的运算　176
9.3　路径、回路和连通性　178
9.3.1　路径和回路　178
9.3.2　图的连通性　180
9.4　图的矩阵表示　183
9.4.1　邻接矩阵　184
9.4.2　可达性矩阵　187
9.4.3　关联矩阵　190
9.5　应用与拓展　192
9.5.1　知识图谱：让机器真正“理解”世界的语义网络　192
9.5.2　图神经网络与消息传递：当深度学习“遇上”图结构　193
习题　193
第 10章　特殊图　198
10.1　欧拉图　198
10.2　哈密顿图　200
10.3　二部图及匹配　202
10.3.1　二部图的概念及性质　203
10.3.2　二部图匹配　204
10.4　平面图　205
10.4.1　平面图的概念及性质　206
10.4.2　多边形图、对偶图及平面图着色　208
10.5　网络　211
10.5.1　网络的基本概念　211
10.5.2　网络流　212
10.5.3　网络最大流求解　213
10.5.4　开关网络　220
10.6　应用与拓展　227
10.6.1　中国邮递员问题：如何让邮递员不走冤枉路　227
10.6.2　最短路径问题：导航软件每天都在用的经典算法　227
习题　228
第 11章　树　232
11.1　树与生成树　232
11.1.1　树及其性质　232
11.1.2　生成树与最小生成树　234
11.2　有向树及其应用　236
11.2.1　有向树　236
11.2.2　m叉树　236
11.2.3　有序树　238
11.2.4　二叉树的遍历　240
11.2.5　搜索树　242
11.3　应用与拓展　244
11.3.1　MST在计算机视觉图像分割中的应用　244
11.3.2　搜索树在强化学习与博弈智能中的应用　244
习题　245
参考文献　248