目录
第 1章 测度论基础下的概率论简介 8
1.1 可测空间与概率空间 8
1.1.1 可测空间与可测集 8
1.1.2 测度与概率 11
1.2 可测函数与随机变量 13
1.2.1 可测函数的定义和性质 13
1.2.2 随机变量序列的收敛性 17
1.3 可测函数的积分与数学期望 20
1.3.1 可测函数积分的定义 20
1.3.2 可测函数积分的性质 21
1.3.3 积分收敛定理 22
1.3.4 随机变量的期望与特征函数 24
1.3.5 随机变量的特征函数 26
1.4 乘积空间上的测度论 27
1.4.1 乘积可测空间 28
1.4.2 乘积测度和Fubini定理 28
1.5 条件数学期望 31
1.5.1 初等概率论中的条件期望 31
1.5.2 关于σ代数条件下的条件期望 32
1.5.3条件期望的重要例子 33
1.5.4 条件期望的性质 34
习题1 36
第 2章 随机过程的基本概念 38
2.1随机过程的概念 38
2.1.1 随机过程的定义 38
2.1.2 随机过程的有限维分布函数族 40
2.1.3 随机过程的数字特征 41
2.1.4 随机过程的应用背景简介 42
2.2 几类常见的随机过程 42
2.2.1独立增量过程 43
2.2.2 正态过程 44
2.2.3 平稳过程 45
2.2.4 计数过程 48
习题2 49
第3章 泊松过程 51
3.1 泊松过程的定义 51
3.1.1 泊松过程的第 一种定义 51
3.1.2 泊松过程的第 二种定义及其等价性 54
3.1.3 强度函数和随机分流定理 55
3.2 泊松过程的性质 57
3.2.1 和 的分布 58
3.2.2 到达时刻 的条件分布 63
3.2.3 剩余寿命和年龄的分布 67
3.3泊松过程的推广 69
3.3.1 广义泊松过程 69
3.3.2 非齐次泊松过程 70
3.3.3 条件泊松过程 73
3.3.4 复合泊松过程 75
3.4 更新过程 77
3.4.1 更新过程的定义 77
3.4.2 更新过程的性质 80
3.4.3 更新过程的推广形式 84
习题3 86
第4章 Markov过程 87
4.1 Markov链的定义及转移概率 88
4.1.1 Markov链的定义 88
4.1.2 Markov链的转移概率 91
4.1.3 Markov链的例子 92
4.2 Markov链的状态分类与判别 94
4.2.1 为什么要进行状态的分类 94
4.2.2 刻画状态类型的特征量 95
4.2.2 状态类型的定义 100
4.2.3 状态类型的判定及其性质 100
4.3 状态之间的关系和状态空间的分解 104
4.3.1 状态的可达与互通 104
4.3.2 状态空间的分解 105
4.3.3状态空间分解的应用举例 108
4.4 Markov链的遍历性理论与平稳分布 111
4.4.1 遍历性定理 111
4.4.2 Markov链的平稳分布 114
4.4.3 Markov链的极限分布 117
4.5 连续时间参数的Markov链 120
4.5.1连续时间参数的Markov链的概念 120
4.5.2 转移速率矩阵—— 矩阵 125
4.5.3 Kolmogorov微分方程 127
4.5.4 强Markov性 130
4.6 特殊的Markov链 133
4.6.1 随机游动 133
4.6.2 分枝过程 134
4.6.3 生灭过程 135
4.6.4 可逆Markov链 137
4.6.5 半Markov过程 139
习题4 140
第5章 鞅 143
5.1鞅的概念与性质 143
5.1.1 定义与简单性质 143
5.1.2 重要的例 146
5.1.3 下鞅分解定理 149
5.2停时定理 150
5.2.1 前 代数 150
5.2.2 停时定理 151
5.3 鞅的不等式与收敛定理 154
5.3.1 上穿不等式 154
5.3.2 下鞅的收敛定理 155
5.3.3 鞅的不等式 156
5.4 连续参数鞅 157
5.4.1 从离散鞅到连续鞅 157
5.4.2 连续鞅的上鞅分解定理 158
5.4.3 连续鞅的上穿不等式与收敛定理 158
5.4.4连续鞅的停时定理 159
习题5 161
第6章 布朗运动 162
6.1 Brown运动的定义与性质 162
6.1.1 Brown运动的定义 162
6.1.2 Brown运动的分布 164
6.1.2 Brown运动的轨道性质 166
6.1.3 Brown运动的鞅性质 168
6.2 Brown运动的首中时与**大值 170
6.2.1 首中时的分布 170
6.2.2 **大值的分布 173
6.2.3 零点与反正弦律 175
习题6 176
第7章 随机分析简介 178
7.1均方分析 178
7.1.1 均方极限 179
7.1.2 均方连续 180
7.1.2 均方导数 182
7.1.3 均方积分 184
7.2 It 积分的定义及性质 188
7.2.1 简单过程 的It 积分 190
7.2.2 一般 过程的It 积分 193
7.2.3 多维It 积分 199
7.3 It 过程与It 公式 199
7.3.1 一维It 过程与It 公式 199
7.3.2 Brown运动的识别 202
7.3.3 多维It 公式 204
7.4 随机微分方程 205
7.4.1 解的存在性 205
7.4.2随机微分方程的解法 207
7.4.3 It 扩散及其基本性质 210
7.5 案例分析-欧式期权定价 214
习题7 218
第8章 贝叶斯统计推断简介 221
8.1 贝叶斯统计模型 221
8.2 选取先验分布方法 225
8.2.1 无信息先验分布 225
8.2.2 共轭分布法 226
8.2.3 杰费莱原则 227
8.3 贝叶斯参数估计 231
8.3.1 **大后验估计 231
8.3.2 条件期望估计 232
8.3.3. 贝叶斯区间估计 233
8.4 贝叶斯假设检验 234
8.5 贝叶斯统计决策 237
8.5.1 一般统计决策模型 237
8.5.2 贝叶斯统计决策 240
8.6 案例分析—过滤垃圾邮件 243
习题8 246